Szerző: jotunder
2016.09.05.
1. Betti nem nő. Betti egy szám, sőt több szám, amelyeket alakzatokhoz rendelnek, és nem is egy, hanem többféle módon. A i-edik (valós) Betti-szám az alakzat i-edik valós kohomológiaterének a dimenziója. A kohomológiatér érintőlegesen és leginkább elvileg megjelenik a műszaki oktatásban, ugyanis a mérnökök általában tanultak olyan mondatokat, hogy bizonyos feltételek mellett a konzervatív erőterek potenciálosak, a rotációmentes terek pedig divergenciák. A kohomológia tér valami olyasmit magyaráz el, hogy mi van akkor ha ezek a feltételek nem teljesülnek, hány lényegesen különböző konzervatív erőtér van, ami nem potenciálos, hány rotációmentes tér van, ami nem divergencia. Nagyjából. Most erre mondhatja bárki, hogy milyen absztrakt hülyeség ez az egész, kit érdekel, hol lesz ebből atombomba vagy légzőkészülék, és valóban, ebből nem nagyon lesz atombomba vagy légzőkészülék.
2. De. .....Betti a dolgok alakjáról, formájáról szól, és a forma az egy fontos tulajdonsága a dolgoknak. A gömb nem lukas (lásd Mérő László örökbecsű marhaságát), az úszógumi, amit bátran nevezhetek a továbbiakban tórusznak, hát nem teljesen mindegy, meg lukas. Amikor az ember megpróbálja azt a dolgot, tárgyat egy számítógép számára is kezelhetővé tenni, akkor úgy képzeli el, hogy kicsi részekből van összerakva, pontokból, élekből, lapokból, és ezen pontok, élek, lapok illeszkedése aránylag jól kódolja el a dolog formáját. Ezen dolgok akár magasabb dimenziósak is lehetnek, és akkor magasabb dimenziós lapok is kellenek a kódoláshoz, de a kód maga akkor sem túl bonyolult, fel vannak benne sorolva a különböző dimenziójú építőkockák, legók és az a mód, ahogy össze kell őket illeszteni. Az összeillesztési kódból bizonyos egyenleteket lehet felírni és ezen egyenletek megoldásával is nyerhetők számok. Teljesen megdöbbentő módon, ha egy teret lekódolunk, akkor a kódokból kapott számok és a fenti erőteres érvelésekkel kapott számok megegyeznek. Ezt az egészet nagyon régen felfedezték, jóval a számítógépek megjelenése előtt, Betti, az az Enrico Betti, 1892-ben halt meg. A lényeg az, hogy különböző módon, de számokat lehet rendelni az alakzatokhoz, és ezek ha nem is teljesen pontosan, de aránylag jól leírják az alakzatok formáját.
3. Ezek a dolgok, alakzatok, tárgyak, amelyekre a fentiekben gondoltam, végesek, legalábbis véges sok egyszerű darabból lehet őket összerakni. Ilyen esetekben csak idő kérdése a Betti-számok kiszámolása. Ami most jön, az is baromi régi, Poincaré 1895-ben írta le (ő azért elég komolyan hozzájárult a relativitás-elmélethez is, nagyon nagy matematikus volt), de az sem nagyon egyszerű. Gyakorlatilag reménytelen. Viszont a reménytelenség is része a történetnek, de legalábbis a reményhez vezető út hossza. A Galois-ról van szó, az Évariste Galois-ról, aki még nem volt 21 éves, amikor abban a bizonyos párbajban meghalt. Ő találta ki a csoportokat, azért, hogy az ötödfokú egyenletek megoldhatatlanságát (egészen pontosan a gyökök algebrai szimbólumokkal való leírhatatlanságát) bebizonyítsa. A Rubik-kocka is tulajdonképpen egy csoportot ír le, aminek egészen pontosan 43252003274489856000 darab eleme van. Mindazonáltal az egyetlen matematikai alakzat, amit azért nagyjából mindenki ismer, az egész számok, is valójában egy csoport, egy végtelen csoport. Minden egyes alakzathoz hozzá lehet rendelni egy csoportot, amit Poincaré a fundamentális csoportnak nevezett el. Ez a csoport azt magyarázza el, hogy mennyire igaz (mennyire nem igaz) az, hogy a hurkokat össze lehet benne húzni, ez az a feltétel, ami a mérnökök konzervatív erőtereinél és az idézett Mérő László szövegnél is megjelenik...
ITT OLVASHATÓ
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése
Megjegyzés: Megjegyzéseket csak a blog tagjai írhatnak a blogba.